经典例题1：平行四边形的对角线互相平分
题目描述：已知一个平行四边形ABCD，其中AB=CD，BC=DA，求证对角线AC和BD互相平分。
解题步骤：
1. 根据平行四边形的性质，我们知道对边相等，即$AB = CD$和$BC = DA$。
2. 由于$AB = CD$，我们可以构造一个三角形ACD，使得$AD = DC$。
3. 同理，由于$BC = DA$，我们可以构造一个三角形BDC，使得$BD = DC$。
4. 由于三角形ACD和三角形BDC都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，它们的底边相等且对应顶点的连线也相等。
5. 对角线AC和BD互相平分。
经典例题2：平行四边形的对角线互相垂直
题目描述：已知一个平行四边形ABCD，其中AB=CD，BC=DA，求证对角线AC和BD互相垂直。
解题步骤：
1. 我们可以通过构造一个矩形ABCD来证明对角线AC和BD互相垂直。
2. 在矩形ABCD中，由于$AB = CD$，我们有$AC perp BD$。
3. 同样地，由于$BC = DA$，我们有$AC perp BD$。
4. 由于矩形的对角线互相垂直，所以$AC perp BD$。
经典例题3：平行四边形的对角线互相平分且互相垂直
题目描述：已知一个平行四边形ABCD，其中AB=CD，BC=DA，求证对角线AC和BD互相平分且互相垂直。
解题步骤：
1. 我们已经证明了对角线AC和BD互相平分。
2. 接下来，我们需要证明对角线AC和BD互相垂直。
3. 由于$AB = CD$，我们有$AC perp BD$。
4. 由于$BC = DA$，我们有$AC perp BD$。
5. 由于两个垂直的线段的交点就是原点，所以$AC perp BD$。
这些例题展示了平行四边形的基本性质和判定方法，它们是解决更复杂几何问题的基础。
